问题描述:
如图,已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.
(Ⅰ)求DP与CC′所成角的大小;
(Ⅱ)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
问题:
问题描述:
如图,已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.
(Ⅰ)求DP与CC′所成角的大小;
(Ⅱ)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
李雪静回答:
方法一:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz.
连接BD,B'D'.在平面BB'D'D中,延长DP交B'D'于H.
求出.
(Ⅰ)利用,求出.即可.
(Ⅱ)平面AA'D'D的一个法向量是.通过,得到.即可.
方法二:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标
系D-xyz.求出解题过程同方法一.
【解析】
方法一:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz.
则,.连接BD,B'D'.
在平面BB'D'D中,延长DP交B'D'于H.
设,由已知,
由
可得.解得,所以.(4分)
(Ⅰ)因为,
所以.即DP与CC'所成的角为45°.(8分)
(Ⅱ)平面AA'D'D的一个法向量是.
因为,所以.
可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°.(12分)
方法二:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标
系D-xyz.则,,.
设P(x,y,z)则,∴(x-1,y-1,z)=(-λ,-λ,λ)
∴,则,由已知,,
∴λ2-4λ+2=0,解得,∴(4分)
(Ⅰ)因为,
所以.即DP与CC'所成的角为45°.(8分)
(Ⅱ)平面AA'D'D的一个法向量是.
因为,所以.
可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°.(12分)