问题:

【如图,已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.(Ⅰ)求DP与CC′所成角的大小;(Ⅱ)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.】

更新时间:2024-03-28 22:58:12

问题描述:

如图,已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.

(Ⅰ)求DP与CC′所成角的大小;

(Ⅱ)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.

李雪静回答:

  方法一:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz.

  连接BD,B'D'.在平面BB'D'D中,延长DP交B'D'于H.

  求出.

  (Ⅰ)利用,求出.即可.

  (Ⅱ)平面AA'D'D的一个法向量是.通过,得到.即可.

  方法二:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标

  系D-xyz.求出解题过程同方法一.

  【解析】

  方法一:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz.

  则,.连接BD,B'D'.

  在平面BB'D'D中,延长DP交B'D'于H.

  设,由已知,

  由

  可得.解得,所以.(4分)

  (Ⅰ)因为,

  所以.即DP与CC'所成的角为45°.(8分)

  (Ⅱ)平面AA'D'D的一个法向量是.

  因为,所以.

  可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°.(12分)

  方法二:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标

  系D-xyz.则,,.

  设P(x,y,z)则,∴(x-1,y-1,z)=(-λ,-λ,λ)

  ∴,则,由已知,,

  ∴λ2-4λ+2=0,解得,∴(4分)

  (Ⅰ)因为,

  所以.即DP与CC'所成的角为45°.(8分)

  (Ⅱ)平面AA'D'D的一个法向量是.

  因为,所以.

  可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°.(12分)