问题:

已知正方体ABCD-A1B1C1D1,写出平面ABC和平面AB1C的一个法向量

更新时间:2024-03-29 19:23:29

问题描述:

已知正方体ABCD-A1B1C1D1,写出平面ABC和平面AB1C的一个法向量

孙远辉回答:

  平面ABC的一个法向量是向量BB1

  平面AB1C的一个法向量是向量BD1

  证明一下吧,只需说明BB1⊥平面ABC,BD1⊥平面AB1C

  由于BB1⊥AB,BB1⊥BC,所以BB1⊥平面ABC,第一条好了

  联结A1B,则在正方形ABB1A中,A1B⊥AB1

  由于A1D1⊥AA1,A1D1⊥A1B1,所以A1D1⊥平面ABB1A1

  所以D1在平面ABB1A1上的射影是A1

  那么D1在平面ABB1A1上的射影是A1,平面ABB1A1中又有A1B⊥AB1

  所以根据三垂线定理,有BD1⊥AB1

  同样道理,联结BD,则有AC⊥BD

  DD1⊥AD,DD1⊥CD,得DD1⊥平面ABCD

  所以D1在平面ABCD上的射影是D,加上AC⊥BD

  根据三垂线定理有BD1⊥AC

  由已证BD1⊥AB1,BD1⊥AC可得BD1⊥平面ABC,第二条也好了