问题描述:
已知正方体ABCD-A1B1C1D1,写出平面ABC和平面AB1C的一个法向量
问题:
问题描述:
已知正方体ABCD-A1B1C1D1,写出平面ABC和平面AB1C的一个法向量
孙远辉回答:
平面ABC的一个法向量是向量BB1
平面AB1C的一个法向量是向量BD1
证明一下吧,只需说明BB1⊥平面ABC,BD1⊥平面AB1C
由于BB1⊥AB,BB1⊥BC,所以BB1⊥平面ABC,第一条好了
联结A1B,则在正方形ABB1A中,A1B⊥AB1
由于A1D1⊥AA1,A1D1⊥A1B1,所以A1D1⊥平面ABB1A1
所以D1在平面ABB1A1上的射影是A1
那么D1在平面ABB1A1上的射影是A1,平面ABB1A1中又有A1B⊥AB1
所以根据三垂线定理,有BD1⊥AB1
同样道理,联结BD,则有AC⊥BD
DD1⊥AD,DD1⊥CD,得DD1⊥平面ABCD
所以D1在平面ABCD上的射影是D,加上AC⊥BD
根据三垂线定理有BD1⊥AC
由已证BD1⊥AB1,BD1⊥AC可得BD1⊥平面ABC,第二条也好了