问题:

已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2.(1)判断抛物线的顶点与直线L:y=-x+2的位置关系;(2)设该抛物线与x轴交于M、N两点,当OM•ON=4,且OM≠ON时,求出这条抛物线的解析式;(3)直线L交x轴于点A,

更新时间:2024-03-29 05:41:41

问题描述:

已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2.

(1)判断抛物线的顶点与直线L:y=-x+2的位置关系;

(2)设该抛物线与x轴交于M、N两点,当OM•ON=4,且OM≠ON时,求出这条抛物线的解析式;

(3)直线L交x轴于点A,(2)中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B.那么在对称轴上是否存在点P,使⊙P与直线L和x轴同时相切?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

唐小静回答:

  (1)由抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2=-(x-m)2-m+2,

  得顶点坐标为(m,-m+2),显然满足y=-x+2

  ∴抛物线的顶点在直线L上.

  (2)设M(x1,0),N(x2,0),且x1<x2.

  由OM•ON=4,OM≠ON,得|x1•x2|=4.

  ∵x1x2=m2+m-2,∴|m2+m-2|=4.

  当m2+m-2=4时,m1=2,m2=-3

  当m2+m-2=-4时,△<0,此方程无解,

  ∵△1=(2m)2-4(m2+m-2)=-4m+8=-4m+8>0.

  ∴m<2.

  故取m=-3.

  则抛物线的解析式为y=-x2-6x-4.

  (3)抛物线y=-x2-6x-4的对称轴为x=-3,顶点(-3,5).

  依题意,∠CAB=∠ACB=45°.

  若点P在x轴的上方,设P1(-3,a)(a>0),

  则点P1到直线L的距离P1Q1为a(如图),

  ∴△CP1Q1是等腰直角三角形.

  ∴a+

2a=5