线性代数求高手.设矩阵A=1-11,x4y-3-35已知A有三个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,试求可逆矩阵P,使得P(-1)AP为对角矩阵.求解题思路和详细解答过程.

刘松斌回答：

　　设λ3是A的另一个特征值,

　　由于λ1=λ2=2是A的二重特征值

　　所以λ1+λ2+λ3=1+4+5

　　所以λ3=6

　　再由A有三个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,

　　齐次线性方程组(A-2E)X=0的基础解系必含2个向量.

　　所以r(A-2E)=1

　　由A-2E=

　　-1-11

　　x2y

　　-3-33

　　知x=2,y=-2

　　且(A-2E)X=0的基础解系为:a1=(-1,1,0)',a2=(1,0,1)'

　　求出(A-6E)X=0的基础解系为:a3=(1,-2,3)'

　　P=(a1,a2,a3)=

　　-111

　　10-2

　　013

　　则有P^(-1)AP=diag(2,2,6).