【高中综合不等式1.已知f(t)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,f(1)=1若t为自然数,且t>=4时,f(t)>=mt^2+(4m+1)t+3m恒成立,求f(t)的表达式及m的最大值设f(x)=x^2+bx+c(b,c为常数),方程f(x)的两根为x1,x2,且】

更新时间：2024-04-19 19:54:02

问题描述：

高中综合不等式

1.已知f(t)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,f(1)=1

若t为自然数,且t>=4时,f(t)>=mt^2+(4m+1)t+3m恒成立,求f(t)的表达式及m的最大值

设f(x)=x^2+bx+c(b,c为常数),方程f(x)的两根为x1,x2,且满足x1>0,x2-x1>1

求证b^2>2(b+2c)

设0

胡兆光回答：

　　1,解出的方程为f（x）=x^3+3x^2-3.

　　因为当x=t,y=-t时,有f(t)+f(-t)=6t^2-6f(0)=-3

　　当x=2t,y=-2t时,有f(2t)+f(-2t)=24t^2-6

　　由于式子最高次幂为3,故设f(t)=a*t^3+3t^2+b*t-3,由f(0)和f(1),求得a=1,b=0

　　满足t=4时,m最大,为3

　　2b^2-2(b+2c)=(x1+x2)^2+2(x1+x2-2x1x2)=(x1-x2)^2+2(x1+x2)>0

　　f(0)=c=x1x2>x1,f(x1)=0-1时,为1,当a=1

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